Worauf wartest du: Wie du ab sofort fairer benoten kannst!

„Der letzte Deutsch-Test war wieder einmal viel zu leicht.“, sagt Sabine zu ihrer Kollegin. „Warum denn das?“, erwidert Maria. Sabine: „Na ja, ich hatte nur drei 2er und einen 3er. Alle anderen Schüler hatten Einsen.“ Maria: „Freu dich doch, dass deine Schüler so gut sind!„

So oder so ähnlich spielt es sich täglich im Konferenzzimmer ab.

Es ist eine Kunst den Schwierigkeitsgrad eines Tests so festzulegen, dass er nicht zu leicht und nicht zu schwer wird. Auch wenn wir uns bemühen, unterschätzen wir manchmal den Schwierigkeitsgrad oder die Art wie eine Frage formuliert ist. Dies kann dazu führen, dass sie von den Schüler:innen missverstanden und dadurch falsch beantwortet wird.

Doch was können wir machen, wenn unser Test „zu schwer“ oder „zu leicht“ war? Eine Möglichkeit wäre, dass wir einzelne Fragen streichen oder den Punktewert von Fragen abändern und anpassen. Das wäre all jenen Schüler:innen unfair gegenüber, die diese Fragen richtig beantwortet haben.

In diesen Artikel möchte ich Dir zeigen, wie Du durch ein Berechnungsverfahren die erzielten Punkte der Schüler:innen so verändern kannst, dass sich die Noten besser verteilen.

WIE SOLLEN NOTEN IDEALERWEISE VERTEILT SEIN?

Du hast sicher schon einmal von einer „Normalverteilung“, „Gauß-Verteilung“ oder der „Gauß‘schen Glockenkurve“ gehört. Alle diese Begriffe beschreiben die gleiche stochastische Verteilungsfunktion. Kaum zu glauben, aber die Gauß’sche Glockenkurve ist nicht nach unseren Gauß benannt, sondern nach Johann Carl Friedrich Gauß, der Anfang des 19. Jahrhunderts wichtige Beiträge zur mathematischen Definition dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung machte.

Das erstaunliche an der Normalverteilung ist, dass viele „zufällige“ Ereignisse, die in der Natur vorkommen, dieser Verteilung folgen. Dies kannst Du in einem einfachen Experiment ausprobieren: Miss beispielsweise die Körpergröße oder das Gewicht deiner Schüler:innen und Du wirst sehen, dass diese Werte in etwa einer Normalverteilung entsprechen.

Der Anspruch, dass die Notenverteilung einer Normalverteilung entspricht, wird im Lehrkörper immer wieder heiß thematisiert. Eine Normalverteilung der Noten ist oft „erwünscht“. Doch hier muss man sich vor Augen führen, dass dies nicht immer zwingend der Fall sein muss – und schon gar nicht immer sinnvoll ist – doch für unser folgendes Beispiel können wir uns vorläufig einmal an der Normalverteilung orientieren. Sehen wir uns dazu die Gauß-Verteilung von 5 bzw. 6 Noten an.

Wie wir hier anhand dieser Grafik sehen können, erwarten wir eine relativ hohe Anzahl an durchschnittlichen Noten. Je besser bzw. schlechter die Note ist, desto geringer ist die Anzahl der Noten, die wir erwarten.

Erzielt ein Test nun zum größten Teil gute oder hauptsächlich schlechte Noten, so entspricht das Ergebnis nicht mehr einer Normalverteilung. Wir können nun versuchen mit einem Verfahren unsere Testergebnisse so zu verändern, dass die Notenverteilung mehr der gauß’schen Kurve entspricht.

NORMIERUNG

Ein wesentlicher Bestandteil unseres Verfahrens ist die sogenannte „Normierung“. Darunter versteht man das Anpassen eines Wertebereiches an eine normierte Skala. Um dies besser verständlich zu machen, ein kleines Beispiel.

Angenommen wir haben einen Test mit maximal 100 Punkte erstellt. Unsere Punkteskala hat also den Bereich 0 bis 100 Punkte. Nach der Auswertung der Arbeiten stellt die Lehrperson fest, dass bei den besten Ergebnissen höchstens 87 Punkte erreicht wurden. Mit der Normierung können wir nun die Wertigkeit der erreichten Punkte verändern und an die Punkteskala anpassen.

SCHRITTE ZUR NORMIERUNG EINER PUNKTESKALA

Du kannst die Normalisierung nutzen um die tatsächlich erreichten Punkte bei einem Test umzuschlüsseln. Das heißt sie bekommen eine andere Wertigkeit. Es gibt verschiedene Arten, um die Skala zu normieren. Wir verwenden hier eine relative einfache lineare Skalierung, die dafür sorgt, dass das Testergebnis tendenziell besser ausfällt. Es gibt aber auch alternative Verfahren und wir können mit einer geeigneten Methodik sogar eine Normalverteilung der Noten erzwingen.

Keine Sorge, es kommt jetzt ein bisschen Mathematik, aber im Anschluss, rechnen wir das Verfahren anhand von drei Beispiel noch einmal Schritt für Schritt gemeinsam durch und Du wirst sehen, so kompliziert ist es gar nicht.

Zuerst benötigen wir den Maximalwert und den Durchschnittswert der erreichten Punkte. Wir bezeichnen diese mit P _Imax und P _Iavg . P _Imax ist einfach zu ermitteln, den das ist der beste Punktewert, den ein/e Schüler:in erreicht hat. Für P _Iavg werden die Punktwerte aller Tests zusammengezählt und durch deren Anzahl dividiert.

Als Nächstes benötigen wir den Maximalwert und den idealen Durchschnittswert der Punkteskala, P _Smax bzw. P _Savg . Dabei ist P _Smax der Punktewert der maximal zu erreichen war. Für P _Savg dürfen wir aber nicht den Mittelwert der Punkteskala nehmen, den das wäre gerade eben eine positive Note. Viel mehr nehmen wir die obere Hälfte der Punkteskala und nehmen von dort den mittleren Wert: P _Savg = P _Smax/2 – 1 + (P _Smax/2+1)/2. Mit ein bisschen Algebra kann man den Ausdruck vereinfachen zu P _Savg = 3/4*P _Smax – 0,5.

Mit diesen Zwischenergebnisse Berechnen wir nun den Versatz V = P _Savg – P _Iavg und den Skalierungsfaktor S = P _Smax /(P _Imax + V). Diese beiden Werte dienen dazu, für eine Punktewert P den normierten Wert Pn zu berechnen. Wir addieren zum Punktewert den Versatz und multiplizieren die Summe mit den Skalierungsfaktor, also P _n = S*(P + V).

Noch einmal zusammengefasst:

1. Notier Dir den höchsten erreichten Punktewert P _Imax
2. Ermittle den durchschnittlich erreichten Punktewert P _Iavg
3. Notier Dir den höchsten erreichbaren Punktewert P _Smax
4. Ermittle den idealen Durchschnittswert P _Savg = 3/4*P _Smax – 0,5
5. Rechne Dir den Versatz V aus. V = P _Savg – P _Iavg
6. Rechne Dir den Skalierungsfaktor S aus. S = P _Smax/(P _Imax + V)
7. Für jeden erreichten Punktewert rechnest du P _n = S*(P + V)

Anmerkung: Das Normierungsverfahren funktioniert dann besonders gut, wenn die erreichten Punkte über ein gewisses Intervall verteilt sind. Beachte: Haben alle Schüler:innen den gleichen Punktewert erzielt, kannst du mit der Normierung nicht mehr viel verändern.

EIN PAAR KONKRETE BEISPIELE

Um das Ganze anschaulicher zu machen, möchte ich Dir anhand von drei konkreten Beispielen erläutern, wie dieses Verfahren funktioniert. Dazu habe ich mithilfe von Excel einige Zufallswerte für drei verschiedene Test-Szenarien generiert. Im ersten Szenario ist der Test schlecht ausgegangen, im zweiten gut und im dritten Szenario haben wir einen Test, der bereits normalverteilt ist.

In jedem Szenario bin ich von 20 Schülern und einem maximalen Punktewert von 50 Punkte ausgegangen. Benotet wird mit den Noten 1 (sehr gut) bis 5 (nicht genügend). Für eine 4 sind mindestens die Hälfte der Punkte notwendig. Das Verfahren lässt sich jedoch auf jede beliebige Notenskala anwenden. In erster Linie habe ich fünf Noten genommen, denn so liegt die 3 genau in der Mitte. (Und in zweiter Linie, weil ich ein Schulsystem mit 5 Noten gewohnt bin 😉.)

Der Notenschlüssel für die Beispiele sieht wie folgt immer gleich aus:

Beispiel 1: Der Test ist schlecht ausgegangen

In diesem Beispiel hast Du deinen Test zu schwer gestaltet und die Schüler:innen haben wenig Punkte erreicht. Die Punkteverteilung sieht wie folgt aus:

Daraus ergibt sich folgende Notenverteilung:

Wir können nun unser Verfahren wie eingangs beschrieben wurde anwenden. Die Maximal- und Durchschnittswerte für die zu erreichenden und tatsächlich erreichten Punkte können wir relativ einfach ermitteln:

• P _Imax = 33
• P _Iavg = 18,4
• P _Smax = 50
• P _Savg = 3*4/PSmax – 0,5 = 37

Wir können hier schon erkennen, dass der Test ordentlich in die Hose gegangen ist. Die/Der beste Schüler:in haben weniger Punkte (33) als unser erwarteter Durchschnittswert von 37. Mehr als die Hälfte der Kinder war negativ (12 von 20 Schüler:innen).

Mit diesen Werten errechnen wir nun V und S:

• V = P _Savg – P _Iavg = 37 – 18,4 = 19,1
• S = P _Smax /(P _Imax + V) = 50/(33+19,1)=50/52,1 = 0,96

Nun wenden wir die Normierungsformel P _n = S*(P + V) auf die Punktetabelle von oben an:

Was sehen wir nun?

• Unser/e beste/r Schüler:in hat automatisch die Höchstpunktezahl von 50 Punkte.
• Der durchschnittliche Punktewerte ist fast beim idealen Durchschnitt von 37 Punkten.
• Die Durchschnittsnote hat sich mit 2,75 deutlich verbessert.
• Die Punkteverteilung sieht viel gleichmäßiger aus.
• Die Noten 2-5 scheinen einer Glockenform zu folgen, nur die 1 sticht noch heraus.

Beispiel 2: Der Test ist gut ausgegangen

Im Anschluss betrachten wir ein Beispiel, indem wir außerordentlich viele gute Noten haben:

Auch hier können wir eine Normalisierung anwenden. Ermitteln wir zuerst unsere Variablen:

• P _Imax = 50
• P _Iavg = 41,1
• P _Smax = 50
• P _Savg = 3*4/PSmax – 0,5 = 37
• V = P _Savg – _PIavg = 37 – 41,1 = -4,1
• S = P _Smax /( _PImax + V) = 50/(50-4,1)=50/45,9 = 1,09

Interessant ist hier, dass V negativ ist. Das bedeutet, dass wir unsere Notenskala nach unten normalisieren, d. h. die Noten werden schlechter. Zugegeben, in der Praxis wird man das eher selten einsetzen, aber wir können das Ganze ja trotzdem durchrechnen.

Hier sehen wir noch die Notenverteilung vor der Normalisierung. Viele Einser und Zweier, aber trotz dessen noch ein Vierer und ein Fünfer. Scheinbar hat nicht jeder das Memo bekommen, dass ein Test ist…

Mit unseren Werten von oben können wir nun normalisieren:

Wie zu erwarten war, haben sich der Punkteschnitt sowie die Durchschnittsnote etwas verschlechtert. Das macht sich ganz besonders in der Notenverteilung bemerkbar:

Zu sehen ist, dass durch unser Normalisierungsverfahren die Verteilungsspitze nach rechts rückt (von 1 auf 2). Mit ein bisschen Fantasie kann man hier schon eine Glockenkurve erkennen.

Beispiel 3: Die Noten sind bereits normalverteilt

Als letztes Beispiel wollen wir uns ansehen wie sich das Verfahren auf einer Notenverteilung auswirkt, die bereits eine Gauß-Verteilung darstellt. Hier ist unsere Erwartung, dass die normalisierten Noten kaum von der Ausgangsbasis abweichen.

Wie wir sehen, haben wir hier eine wunderschöne, symmetrische Glockenkurve. Wir ermitteln wieder unsere Variablen und wenden das Normalisierungsverfahren an:

• P _Imax = 50
• P _Iavg = 33,9
• P _Smax = 50
• P _Savg = 3*4/PSmax – 0,5 = 37
• V = P _Savg – _PIavg = 37 – 33,9 = 3,1
• S = P _Smax /( _PImax + V) = 50/(50+3,1)=50/53,1 = 0,94

Die Punktewerte haben sich ein minimal verändert und sind im Schnitt nach oben gegangen. Die Noten sind aber gleichgeblieben. Somit ist auch die Notenverteilung nach wie vor normalverteilt. Die minimale Punktekorrektur nach oben entsteht dadurch, dass der Punkteschnitt von 33,9 kleiner ist als der ideale Schnitt von 37.

In diesem Beispiel macht es keinen Sinn, das Verfahren anzuwenden, aber wir haben gesehen, dass es die Notenverteilung auch nicht negativ beeinflusst.

EIN WICHTIGES WORT ZUM SCHLUSS

Ganz wichtig: Wir befürworten nicht den Lernerfolg an der Normalverteilung der Noten festzulegen. Die Anzahl an „schlechten“ und „guten“ Noten soll nie ein Indikator dafür sein, wie gut Inhalte vermittelt worden sind. Generell ist eine kritische Auseinandersetzung mit der Thematik anzustreben. Hier sollte man als Lehrperson hinterfragen, ob Noten das geeignete Mittel zur Leistungsfeststellung sind. In dem Zusammenhang wollen wir eine interessante und vor allem lesenswerte Aufarbeitung von Uwe Mortensen zu normalverteilten Schulnoten empfehlen. Uwe Mortensen geht auch auf die bayrische Lehrerin Sabine Czerny ein, die 2008 für Schlagzeilen sorgte. Sie wurde damals wegen „zu guter“ Benotung strafversetzt.

Ich hoffe, Dir mit den eingangs beschriebenen Verfahren, ein nützliches Werkzeug in die Hand gelegt zu haben. Vielleicht fällt bald mal wieder ein Test von Dir sehr schlecht aus, und Du kannst mithilfe der Normalisierung Deinen Schülern eine kleine Freude machen.